Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個極值點，，且，證明：.

Answer 1

【答案】(1) 見解析.

(2)證明見解析.

【解析】分析：(1)先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)二次方程 =0根得情況分類討論：當時，.∴在上單調(diào)遞減. 當時，根據(jù)兩根大小再分類討論對應(yīng)單調(diào)區(qū)間， (2)先化簡不等式消m得，再利用導(dǎo)數(shù)研究，單調(diào)性，得其最小值大于-1，即證得結(jié)果.

詳解：（1）由，得

，.

設(shè)，.

當時，即時，，.

∴在上單調(diào)遞減.

當時，即時，

令，得，，.

當時，，

在上，，在上，，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上，當時，在上單調(diào)遞減，

當時，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）∵有兩個極值點，，且，

∴由（1）知有兩個不同的零點，，

，，且，此時，，

要證明，只要證明.

∵，∴只要證明成立.

∵，∴.

設(shè)，，

則，

當時，，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，即，

∴有兩個極值點，，且時，.