Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，滿足，f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-

1

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=ln x-f（x）f′（x），求g（x）的最大值及相應(yīng)的x值；
（3）對(duì)任意正數(shù)x，恒有f（x）+f(

1

x

)≥（x+

1

x

）1n m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）借助二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，設(shè)出函數(shù)解析式，利用f（0）=0，即可得到函數(shù)解析式；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求最值；
（3）對(duì)任意正數(shù)x，恒有f（x）+f(

1

x

)≥（x+

1

x

）1nm，等價(jià)于對(duì)任意正數(shù)x，恒有（x2+

1

x2

）-（x+

1

x

）≥（x+

1

x

）1nm，換元，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，可設(shè)f（x）=a（x-

1

2

）²-

1

4

，
又f（0）=0，∴a=1
∴f（x）=x²-x；
（2）g（x）=ln x-f（x）f′（x）=lnx-（x²-x）（2x-1），
∴g′（x）=

1

x

-6x²+6x-1=（1-x）（6x²+1）（x＞0）
∴0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，x＞1時(shí)，g′（x）＜0
∴函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減
∴x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值為0；
（3）對(duì)任意正數(shù)x，恒有f（x）+f(

1

x

)≥（x+

1

x

）1nm，等價(jià)于對(duì)任意正數(shù)x，恒有（x2+

1

x2

）-（x+

1

x

）≥（x+

1

x

）1nm，
令t=x+

1

x

（t≥2），則x2+

1

x2

=t²-2
∴對(duì)任意正數(shù)x，恒有t²-2-t≥tlnm
∴l(xiāng)nm≤t-

2

t

-1
∵t≥2，∴t-

2

t

-1≥0
∴l(xiāng)nm≤0
∴0＜m≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．