Question

甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，負的一方在下一局當裁判，設各局中雙方獲勝的概率均為

1

2

，各局比賽的結果都相互獨立，第1局甲當裁判．
（ I）求第4局甲當裁判的概率；
（ II）X表示前4局中乙當裁判的次數(shù)，求X的數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（I）令A₁表示第2局結果為甲獲勝，A₂表示第3局甲參加比賽時，結果為甲負，A表示第4局甲當裁判，分析其可能情況，每局比賽的結果相互獨立且互斥，利用獨立事件、互斥事件的概率求解即可．
（II）X的所有可能值為0，1，2．分別求出X取每一個值的概率，列出分布列后求出期望值即可．

解答：解：（I）令A₁表示第2局結果為甲獲勝．A₂表示第3局甲參加比賽時，結果為甲負．A表示第4局甲當裁判．
則A=A₁•A₂，P（A）=P（A₁•A₂）=P（A₁）P（A₂）=

1

4

；
（Ⅱ）X的所有可能值為0，1，2．令A₃表示第3局乙和丙比賽時，結果為乙勝．
B₁表示第1局結果為乙獲勝，B₂表示第2局乙和甲比賽時，結果為乙勝，B₃表示第3局乙參加比賽時，結果為乙負，
則P（X=0）=P（B₁B₂B₃）=P（B₁）P（B₂）P（B₃）=

1

8

．
P（X=2）=P（

.

B1

B₃）=P（

.

B1

）P（B₃）=

1

4

．
P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）=

5

8

．
從而EX=0×

1

8

+1×

5

8

+2×

1

4

=

9

8

．

點評：本題考查互斥、獨立事件的概率，離散型隨機變量的分布列和期望等知識，同時考查利用概率知識解決問題的能力．