Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，首項(xiàng)a₁=1，公比．
（Ⅰ）證明：S_n=（1+λ）-λa_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若λ=1，記，數(shù)列{c_n}的前項(xiàng)和為T_n，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，2≤T_n＜4．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，再表達(dá)出，故可證；
（II）先求出b_n，再進(jìn)一步變形，判斷出 是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出{b_n}的通項(xiàng)公式；
（III）先求出C_n，再由錯(cuò)位相減法求出該數(shù)列的前n項(xiàng)和為T_n．
解答：解：（Ⅰ）證明：
而所以S_n=（1+λ）-λa_n（4分）
（Ⅱ），∴，∴，（6分）

∴是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，，即．（8分）

（Ⅲ）λ=1時(shí)，，∴（9分）
∴∴
相減得∴
∴，（12分）
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182335200913616/SYS201310241823352009136019_DA/17.png">，∴T_n單調(diào)遞增，
∴T_n≥T₂=2，故當(dāng)n≥2時(shí)，2≤T_n＜4．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列的綜合題，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了分析問題和解決問題的能力．