Question

（1）設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值；
（2）設(shè)正數(shù)p1，p2，p3，…，p2n滿足p1+p2+p3+…+p2n=1，求證：p1lnp1+p2lnp2+p3lnp3+…+p2nlnp2n≥-n．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而得導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的定義域確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定函數(shù)f（x）的最小值；
 （2）利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，關(guān)鍵是第二步的證明：假定當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若正數(shù)p1，p2，…，p2k滿足p1+p2+…+p2k=1，則p1log2p1+p2log2p2+…+p2klog2p2k≥-k．
再證明 n=k+1時(shí)，需利用歸納假設(shè)，從而得證．

解答：（1）解：對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)：f'（x）=（xlnx）'+[（1-x）ln（1-x）]'=lnx-ln（1-x）．于是f′(

1

2

)=0．
當(dāng)x＜

1

2

，f′(x)=lnx-ln(1-x)＜0，f(x)在區(qū)間(0，

1

2

)是減函數(shù)，
當(dāng)x＞

1

2

，f′(x)=lnx-ln(1-x)＞0，f(x)在區(qū)間(

1

2

，1)是增函數(shù)．
所以f(x)在x=

1

2

時(shí)取得最小值，f(

1

2

)=ln

1

2

，
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（i）當(dāng)n=1時(shí)，由（1）知命題成立．
（ii）假定當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若正數(shù)p1，p2，…，p2k滿足p1+p2+…+p2k=1，
則p1log2p1+p2log2p2+…+p2klog2p2k≥-k．
當(dāng)n=k+1時(shí)，若正數(shù)p1，p2，…，p2k+1滿足p1+p2+…+p2k+1=1，
令x=p1+p2+…+p2k，q1=

p1

x

，q2=

p2

x

，…，q2k=

p2k

x

．
則q1，q2，…，q2k為正數(shù)，且q1+q2+…+q2k=1．
由歸納假定知q1lnp1+p2lnp2+…+q2klnq2k≥-k．p1lnp1+p2lnp2+…+p2klnp2k=x(q1lnq1+q2lnq2+…+q2klnq2k+lnx）≥x（-k）+xlnx，①
同理，由p2k+1+p2k+2+…+p2k+1=1-x可得p2k+1lnp2k+1+…+p2k+1lnp2k+1≥（1-x）（-k）+（1-x）n（1-x）．②
綜合①、②兩式p1lnp1+p2lnp2+…+p2k+1lnp2k+1≥[x+（1-x）]（-k）+xlnx+（1-x）ln（1-x）
≥-（k+1）．
即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．
根據(jù)（i）、（ii）可知對(duì)一切正整數(shù)n命題成立．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查不等式的證明，注意數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟．