Question

“我們稱使f(x)=0的x為函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上是連續(xù)的、單調(diào)的函數(shù)，且滿足f(a)·f(b)＜0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上有唯一的零點(diǎn)”.對于函數(shù)f(x)=-x³+x²+x+m.

（1）當(dāng)m=0時(shí),討論函數(shù)f(x)=-x³+x²+x+m在定義域內(nèi)的單調(diào)性并求出極值；

（2）若函數(shù)f(x)=-x³+x²+x+m有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

解：（1）當(dāng)m=0時(shí),f(x)=-x³+x²+x.∴f′(x)=-3x²+2x+1=-3(x+)(x-1).

列表

x	(-∞,)		(,1)	1	（1，+∞）
f′(x)	—	0	+	0	-
f(x)	↘	極小值f()	↗	極大值f(1)	↘

由表可知：函數(shù)f(x)=-x³+x²+x在區(qū)間［,1］上單調(diào)遞增,在(-∞,)∪(1,+∞)上單調(diào)遞減. f(x)的極小值為f()=.極大值為f(1)=1.

（2）由（1）知，當(dāng)x=時(shí),f(x)取得極小值f()=++m=m.

當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極大值f(1)=-1+1+1+m=m+1.

當(dāng)即-1＜m＜時(shí)，

f(-1)=1+1-1+m=m+1＞0,f()=m-＜0,f(1)=m+1＞0,f(2)=m-2＜0.

∴f(x)=-x³+x²+x+m在［-1,］上有唯一零點(diǎn),在(,1］上有唯一零點(diǎn),在(1,2］上有唯一零點(diǎn).

又f(x)=-x³+x²+x+m在(-∞,-1］上單調(diào)遞減,在［2,+∞)上單調(diào)遞減,

∴在(-∞,-1］上恒有f(x)≥f(-1)＞0,在?［2,+∞)?上恒有f(x)≤f(2)＜0.

∴f(x)=-x³+x²+x+m在(-∞,-1］和?［2,+∞)?上無零點(diǎn).

∴-1＜m＜時(shí),函數(shù)f(x)=-x³+x²+x+m有三個(gè)零點(diǎn).

∴所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-1,).