Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知圓錐曲線(xiàn)

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數(shù)）和定點(diǎn)A（0，

3

），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是左右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)F₁垂直于直線(xiàn)AF₂的直線(xiàn)L的參數(shù)方程．
（Ⅱ） 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線(xiàn)AF₂的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)中的平方關(guān)系消去參數(shù)θ，將圓錐曲線(xiàn)化為普通方程，從而求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用直線(xiàn)的斜率求得直線(xiàn)L的傾斜角，最后利用直線(xiàn)的參數(shù)方程形式，即可得到直線(xiàn)L的參數(shù)方程．
（2）設(shè)P（ρ，θ）是直線(xiàn)AF₂上任一點(diǎn)，利用正弦定理列出關(guān)于ρ、θ的關(guān)系式，化簡(jiǎn)即得直線(xiàn)AF₂的極坐標(biāo)方程．

解答：解：（1）圓錐曲線(xiàn)

x=2cosθ y= 3 sinθ

，化為普通方程得

x2

4

+

y2

3

=1，
所以焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∴直線(xiàn)AF₂的斜率k=

3 -0

0-1

=-

3

因此，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F₁垂直于直線(xiàn)AF₂的直線(xiàn)L的斜率k₁=-

1

k

=

3

3

，直線(xiàn)L的傾斜角為30°
所以直線(xiàn)L的參數(shù)方程是

x=-1+tcos30° y=tsin30°

，即

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數(shù)）．（6分）
（2）直線(xiàn)AF₂的斜率k=-

3

，傾斜角是120°，
設(shè)P（ρ，θ）是直線(xiàn)AF₂上任一點(diǎn)，
則

ρ

sin60°

=

1

sin(120°-θ)

，即ρsin（120°-θ）=sin60°，
化簡(jiǎn)得

3

ρcosθ+ρsinθ=

3

所以直線(xiàn)AF₂的極坐標(biāo)方程是

3

ρcosθ+ρsinθ-

3

=0．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程、直線(xiàn)的參數(shù)方程、橢圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．