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        1. (2013•和平區(qū)二模)已知點A、B分別是橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          長軸的左、右端點,點C是橢圓短軸的一個端點,且離心率e=
          2
          2
          .三角形ABC的面積為
          2
          ,動直線l:y=kx+m與橢圓于M、N兩點.
          (I)求橢圓的方程;
          (II)若橢圓上存在點P,滿足
          OM
          +
          ON
          OP
          (O為坐標原點),求λ的取值范圍;
          (III)在(II)的條件下,當(dāng)λ=
          2
          時,求△MNO面積.
          分析:(I)由離心率e=
          2
          2
          ,及三角形的面積聯(lián)立方程組,即可求橢圓的方程;
          (II)直線方程代入橢圓方程,分類討論,確定P的坐標,利用P在橢圓上,即可求λ的取值范圍;
          (III)求出|MN|,點O到直線MN的距離,利用面積公式,即可求△MNO面積.
          解答:解:(I)由題意,
          a2+b2
          a
          =
          2
          2
          1
          2
          ×2a×b=
          2
          ,∴a=
          2
          ,b=1

          ∴橢圓的方程為
          x2
          2
          +y2=1
          ;
          (II)y=kx+m代入橢圓方程整理可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
          設(shè)點M、N的坐標分別為M(x1,y1)、N(x2,y2)、P(x0,y0),則
          x1+x2=-
          4km
          1+2k2
          ,x1x2=
          2m2-2
          1+2k2

          ∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=
          2m
          1+2k2

          (1)當(dāng)m=0時,點M、N關(guān)于原點對稱,則λ=0.
          (2)當(dāng)m≠0時,點M、N不關(guān)于原點對稱,則λ≠0,
          OM
          +
          ON
          OP
          ,∴(x1,y1)+(x2,y2)=λ(x0,y0),
          ∴x1+x2=λx0,y1+y2=λy0,
          ∴x0=-
          4km
          λ(1+2k2)
          ,y0=
          2m
          λ(1+2k2)

          ∵P在橢圓上,
          [-
          4km
          λ(1+2k2)
          ]2+2[
          2m
          λ(1+2k2)
          ]2=2

          化簡,得4m2(1+2k2)=λ2(1+2k22
          ∵1+2k2≠0,
          ∴有4m22(1+2k2).…①…7分
          又∵△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(1+2k2-m2),
          ∴由△>0,得1+2k2>m2.…②…8分
          將①、②兩式,∵m≠0,∴λ2<4,
          ∴-2<λ<2且λ≠0.
          綜合(1)、(2)兩種情況,得實數(shù)λ的取值范圍是-2<λ<2;
          (III)由題意,|MN|=
          1+k2
          |x1-x2|,點O到直線MN的距離d=
          |m|
          1+k2

          ∴S△MNO=
          1
          2
          |m||x1-x2|
          =
          2
          |m|
          1+2k2-m2
          1+2k2

          當(dāng)λ=
          2
          時,由4m22(1+2k2)可得2m2=1+2k2,
          S△MNO=
          2
          2
          點評:本題主要考查待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程,要注意橢圓的三個參數(shù)的關(guān)系為:a2=b2+c2;求解直線與橢圓的位置關(guān)系問題,通常是聯(lián)立方程組,利用韋達定理求解.
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          4
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          3
          i
          (
          3
          -i)
          2
          等于(  )

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          1
          x
          <1
          ,條件q:
          1
          x
          <x
          則¬p是¬q的( 。

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