Question

f(x)=x²-4x-4，x∈［t，t+1］，t∈R，求：

(1)f(x)的最小值g(t)的解析式；

(2)求g(t)的最小值.

Answer 1

思路分析：(1)易得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=2，之后分對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間［t，t+1］左、內(nèi)、右分段得出最小值的解析式.(2)g(t)是分段函數(shù)，各段上最小值中的最小值是g(t)的最小值.

解：(1)∵f(x)=(x-2)²-8，∴f(x)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2.

當(dāng)2∈［t，t+1］，即t≤2≤t+1時(shí)，1≤t≤2，g(t)=f(2)=-8；

當(dāng)2＞t+1，即t＜1時(shí)，f(x)在［t，t+1］上隨x增大f(x)減小.

∴g(t)=f(t+1)=t²-2t-7.

當(dāng)t＞2時(shí)，f(x)在［t，t+1］上隨x增大f(x)增大,

∴g(t)=f(t)=t²-4t-4.

綜上可得g(t)=t

(2)當(dāng)t＜1時(shí)，g(t)=t²-2t-7=(t-1)²-8＞-8；

當(dāng)1≤t≤2時(shí)，g(t)=-8；

當(dāng)t＞2時(shí)，g(t)=t²-4t-4=(t-2)²-8＞-8，

則g(t)的最小值是-8.