Question

【題目】某市將建一個制藥廠，但該廠投產后預計每天要排放大約80噸工業(yè)廢氣，這將造成極大的環(huán)境污染.為了保護環(huán)境，市政府決定支持該廠貸款引進廢氣處理設備來減少廢氣的排放，該設備可以將廢氣轉化為某種化工產品和符合排放要求的氣體，經測算，制藥廠每天利用設備處理廢氣的綜合成本（元）與廢氣處理量（噸）之間的函數(shù)關系可近似地表示為，且每處理噸工業(yè)廢氣可得價值為元的某種化工產品并將之利潤全部用來補貼廢氣處理.

（1）若該制藥廠每天廢氣處理量計劃定位20噸時，那么工廠需要每天投入的廢氣處理資金為多少元？

（2）若該制藥廠每天廢氣處理量計劃定為噸，且工廠不用投入廢氣處理資金就能完成計劃的處理量，求的取值范圍；

（3）若該制藥廠每天廢氣處理量計劃定為（）噸，且市政府決定為處理每噸廢氣至少補貼制藥廠元以確保該廠完成計劃的處理量總是不用投入廢氣處理資金，求的值.

Answer 1

【答案】(1)400元；(2) ；(3) .

【解析】試題分析：（1）先根據函數(shù)關系求成本，再計算利潤，兩者之差為處理資金（2）由題意得成本不大于利潤，根據分段函數(shù)分段討論，最后求并集（3）成本與利潤之差不大于補貼，為不等式恒成立，結合二次函數(shù)圖像確定滿足條件，解得的最小值.

試題解析：（1）由題意可知當該制藥廠每天廢氣處理量計劃為噸時，每天利用設備處理廢氣的綜合成本為元

轉化的某種化工產品可得利潤元，

所以工廠每天需要投入廢氣處理資金為元.

（2）由題意可知，當時，令，解得；

當時，令，即，

此時，無解.

綜上所述，當該制藥廠每天廢氣處理量計劃為噸時，工廠可以不用投入廢氣處理資金就能完成計劃的處理量.

（3）市政府為處理每噸廢氣補貼元就能確保該廠每天的廢氣處理不需要投入資金，當時，不等式恒成立，

即對任意恒成立，

令

則.

故市政府只要為處理每噸廢氣補貼元就能確保該廠每天的廢氣處理不需要投入資金.