Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C：交于A，B兩點(diǎn)，且．

求C的方程；

若D為直線(xiàn)外一點(diǎn)，且的外心M在C上，求M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）的坐標(biāo)為或.

【解析】

（1）將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，設(shè)出A,B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理得x1x2和y1y2表達(dá)式，根據(jù)OA⊥OB可知x1x2+y1y2=0，即可求得p，從而得拋物線(xiàn)方程．（2）三角形的外心為中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得線(xiàn)段AB中點(diǎn)N的坐標(biāo)，得到線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程，將中垂線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立即可得到外心M.

（1）聯(lián)立得， 設(shè)A(

則，.

從而.

，，

即，解得.故的方程為.

（2）設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為.

由（1）知，，.

則線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為，即.

聯(lián)立得，解得或4.

從而的外心的坐標(biāo)為或.