Question

已知函數(shù)

（1）設(shè)曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，確定實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使曲線C：在點(diǎn)處的切線與軸垂直？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）， 因此在處的切線的斜率為，

又直線的斜率為， ∴（）＝－1，

∴ ＝－1.

（2）∵當(dāng)≥0時(shí)，恒成立，

∴ 先考慮＝0，此時(shí)，，可為任意實(shí)數(shù)；

  又當(dāng)＞0時(shí)，恒成立，

則恒成立， 設(shè)＝，則＝，

當(dāng)∈(0,1)時(shí)，＞0，在(0,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)∈(1,＋∞)時(shí)，＜0，在(1,＋∞)上單調(diào)遞減，

故當(dāng)＝1時(shí)，取得極大值，，

∴ 實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（3）依題意，曲線C的方程為，

令＝，則

設(shè)，則，

當(dāng)，，故在上的最小值為，

所以≥0，又，∴＞0，

而若曲線C：在點(diǎn)處的切線與軸垂直，

則＝0，矛盾。

所以，不存在實(shí)數(shù)，使曲線C：在點(diǎn)處的切線與軸垂直.