Question

寫出以下五個命題中所有正確命題的編號

 

①點A（1，2）關(guān)于直線y=x-1的對稱點B的坐標(biāo)為（3，0）；
②橢圓

x2

16

+

y2

9

=1的兩個焦點坐標(biāo)為（±5，0）；
③已知正方體的棱長等于2，那么正方體外接球的半徑是2

3

；
④圖1所示的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，異面直線A₁C₁與B₁C成60°的角；
⑤圖2所示的正方形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形是矩形．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型

分析：①設(shè)出對稱點的坐標(biāo)，根據(jù)垂直的條件和中點坐標(biāo)公式，列出方程組，求出實數(shù)解即可；
②根據(jù)橢圓的a，b，c的關(guān)系c²=a²-b²，求出c，即可判斷；
③根據(jù)正方體的對角線即為外接球的直徑，即可判斷；
④由異面直線所成的角的定義，先找（作）平行線，再解三角形，即可求得；
⑤根據(jù)水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法：平行性質(zhì)不變，長度是與x軸平行的不變，與y軸平行的是原來的一半．即可畫出原圖形．

解答： 解：①設(shè)點A（1，2）關(guān)于直線y=x-1的對稱點B的坐標(biāo)為（m，n），
則

1 2 (m+1)-1= 1 2 (n+2) n-2=-(m-1)

解得，m=3，n=0，故①正確；
②橢圓

x2

16

+

y2

9

=1的c²=16-9=7，c=

7

，則焦點坐標(biāo)為（±

7

，0），即②錯；
③已知正方體的棱長等于2，那么正方體外接球的直徑為2

3

，故半徑是

3

，即③錯；
④正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，可得A₁D∥B₁C，∠C₁A₁D為異面直線A₁C₁與B₁C成的角，在等邊△A₁DC₁中，∠C1A₁D=60°，故異面直線A₁C₁與B₁C成60°的角，即④正確；
⑤由水平放置的一個平面圖形的直觀圖的畫法，得到原圖形為平行四邊形，如圖，故⑤錯．
故答案為：①④．

點評：本題以命題的真假為載體，考查點關(guān)于直線的對稱點的求法、橢圓的焦點、正方體與其外接球的關(guān)系，以及空間異面直線所成的角和水平放置的平面圖的直觀圖的畫法，掌握這些基礎(chǔ)知識是迅速解題的關(guān)鍵．