Question

某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品A的直徑均位于區(qū)間[110，118]內(nèi)（單位：mm）．若生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的直徑位于區(qū)間[110，112]，[112，114]，[114，116]，[116，118]內(nèi)該廠可獲利分別為10，20，30，10（單位：元），現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品A中隨機(jī)100件測(cè)量它們的直徑，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求a的值，并估計(jì)該廠生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均利潤；
（Ⅱ）現(xiàn)用分層抽樣法從直徑位于區(qū)間[112，116）內(nèi)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為5的樣
本，再從樣本中隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，求兩件產(chǎn)品中至少有一件產(chǎn)品的直徑位于區(qū)間[114，116）內(nèi)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：分層抽樣方法,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）利用所有小矩形的面積之和為1求得a值；根據(jù)頻數(shù)=頻率×樣本容量求得各組的頻數(shù)，代入平均數(shù)公式計(jì)算；
（II）根據(jù)頻率分布直方圖求得直徑位于區(qū)間[112，114）和[114，116）的頻率之比，可得在兩組中應(yīng)取的產(chǎn)品數(shù)，
利用寫出所有基本事件的方法求符合條件的基本事件個(gè)數(shù)比；

解答： 解：（I）由頻率分布直方圖得：2×（0.050+0.150+a+0.075）=1⇒a=0.225，
直徑位于區(qū)間[110，112）的頻數(shù)為100×2×0.050=10，位于區(qū)間[112，114）的頻數(shù)為100×2×0.150=30，
位于區(qū)間[114，116）的頻數(shù)為100×2×0.225=45，位于區(qū)間[116，118）的頻數(shù)為100×2×0.075=15，
∴生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均利潤為

10×10+20×30+30×45+10×15

100

=22（元）；
（II）由頻率分布直方圖得：直徑位于區(qū)間[112，114）和[114，116）的頻率之比為2：3，
∴應(yīng)從直徑位于區(qū)間[112，114）的產(chǎn)品中抽取2件產(chǎn)品，記為A、B，
從直徑位于區(qū)間[114，116）的產(chǎn)品中抽取3件產(chǎn)品，記為a、b、c，從中隨機(jī)抽取兩件，所有可能的取法有，（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c）
，（a，b），（a，c），（b，c）10種，兩件產(chǎn)品都不在區(qū)間[114，116）的取法只有（A，B）一種，
∴兩件產(chǎn)品中至少有一件產(chǎn)品的直徑位于區(qū)間[114，116）內(nèi)的取法有9種．
∴所求概率為P=

9

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分層抽樣方法，考查了古典概型的概率計(jì)算，讀懂頻率分布直方圖是解答本題的關(guān)鍵．