Question

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，CB＝1，CA＝，AA1＝，M為側(cè)棱CC1上一點(diǎn)，AM⊥BA1． (1) 求證：AM^ 平面A1BC； (2) 求二面角B－AM－C的大小； (3) 求點(diǎn)C到平面ABM的距離．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	證明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，易知面ACC1A1⊥面ABC， ∵∠ACB＝90°，∴BC⊥面ACC1A1，………………2分 ∵面ACC1A1，∴BC⊥AM ∵，且，∴AM^ 平面………………4分
(2)	解法一：設(shè)AM與A1C的交點(diǎn)為O，連結(jié)BO，由(1)可知AM^ OB，且AM^ OC， 所以∠BOC為二面角B－AM－C的平面角， ………………………5分 在Rt△ACM和Rt△A1AC中，∠OAC＋∠ACO＝90°，∴∠AA1C＝∠MAC ∴Rt△ACM∽R(shí)T△A1AC，∴ ∴……………7分 ∴在Rt△ACM中， ∵，∴ ∴在Rt△BCO中， ∴，故所求二面角的大小為45°………………9分 解法二： 如圖以C為原點(diǎn),CA，CB，CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè) ∵，∴ 即，故，所以………6分 設(shè)向量為平面AMB的法向量，則，則即， 令x＝1，的平面AMB的一個(gè)法向量為，顯然向量是平面AMC的一個(gè)法向量，……………8分 易知，與所夾的角等于二面角B－AM－C的大小，故所求二面角的大小為45°．……9分
(3)	解法一： 解：設(shè)點(diǎn)C到平面ABM的距離為h，易知， 可得…………………10分 ∵…………………11分 ∴，∴ ∴點(diǎn)C到平面ABM的距離為………………13分 解法二：向量在法向量上的投影的長(zhǎng)即為所求距離，………………10分 ∵……………12分 ∴點(diǎn)C到平面ABM的距離為…………………13分