Question

已知長(zhǎng)方體AC₁中，棱AB=BC=1，棱BB₁=2，連接B₁C，過B點(diǎn)作B₁C的垂線交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求證：A₁C⊥平面EBD；
（2）求點(diǎn)A到平面A₁B₁C的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三垂線定理證線線垂直，再由線線垂直證明線面垂直；
（2）利用線面平行，將A到平面的距離轉(zhuǎn)化為B到平面的距離，再利用三棱錐的換底性求高即可．

解答：解：（1）證明：∵長(zhǎng)方體A₁C，∴A₁B₁⊥平面BC₁，B₁C為A₁C在平面BC₁上的射影，
∵BE⊥B₁C，由三垂線定理得，A₁C⊥BE，
同理A₁C⊥BD
∵BE∩BD=B，∴A₁C⊥面BDE．
（2）∵AB∥面A₁B₁C，∴點(diǎn)A到面A₁B₁C的距離即為點(diǎn)B到面A₁B₁C的距離，設(shè)為d
∵VA1-B1BC=VB-A1B1C，∴

1

3

×

1

2

×2×1×1=

1

3

×

1

2

×

5

×1×d，
∴d=

2 5

5

，
∴點(diǎn)A到平面A₁B₁C的距離為

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定及點(diǎn)到平面的距離．利用轉(zhuǎn)化思想與三棱錐的換底性求點(diǎn)到平面的距離是常用方法．