Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=6，BD=6

3

，E是PB上任意一點(diǎn)
（1）求證：AC⊥DE；
（2）當(dāng)△AEC面積的最小值是9時，求PD的長
（3）在（2）的條件下，在線段BC上是否存在點(diǎn)G，使EG與面PAB所成角的正切值為2？若存在，求出BG的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)幾何體的線線、線面關(guān)系利用線面垂直的判定定理得到AC⊥面PBD，進(jìn)而由線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直．
（2）設(shè)AC與BD交點(diǎn)為F，由（1）知，AC⊥EF，結(jié)合平面知識當(dāng)△AEC面積的最小值是9時，EF取得最小值3，進(jìn)而根據(jù)三角形相似得到答案．
（3）建立空間坐標(biāo)系，分別求出平面的法向量與直線所在的向量，再利用向量之間的運(yùn)算求出兩個向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線面角得到答案．

解答：解：（1）∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AC
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC
∴AC⊥面PBD
∴AC⊥DE
（2）設(shè)AC與BD交點(diǎn)為F，由（1）知，
AC⊥EF
當(dāng)△AEC面積的最小值是9時，
EF取得最小值3
在△PBD中，當(dāng)FE⊥PB時，EF最小，此時EB=

BF2-EF2

=3

2

由△BEF∽△BDP得

EF

EB

=

PD

BD

，解得PD=3

6

（3）以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B，F(xiàn)C所在直線分別為x軸、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P(-3

3

，0，3

6

)，B(3

3

，0，0)

EB

=

1

3

PB

=

1

3

(6

3

，0，3

6

)=(2

3

，0，

6

)
而

BC

=(-3

3

，3，0)，

BG

=t

BC

=(-3

3

t，3t，0)
∴

EG

=

EB

+

BG

=(2

3

-3

3

t，3t，-

6

)
而面PAB的法向量

n

=(

2

，-

6

，2)
由已知得cos＜

n

，

EG

＞=

2

5

，解得t=

2

3

∴存在靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)G滿足題意

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而得到線線、線面關(guān)系，也有利于建立空間坐標(biāo)系利用向量求解線面角；此題考查學(xué)生的空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．