Question

某大型工廠的車床有甲，乙，丙三個型號，分別占總數(shù)的

1

2

，

1

3

，

1

6

，現(xiàn)在有三名工人各自獨(dú)立選一臺車床操作．
（I）求他們選擇的車床類型互不相同的概率；
（II）設(shè)ξ為他們選擇甲型或丙型車床的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）記第i名工人選擇甲，乙，丙型車床分別為事件A_i，B_i，C_i，i=1，2，3．由題意知A₁，A₂，A₃相互獨(dú)立，B₁，B₂，B₃相互獨(dú)立，C₁，C₂，C₃相互獨(dú)立A_i，B_j，B_k（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互獨(dú)立，P(Ai) =

1

2

，P(Bi) =

1

3

，P(Ci) =

1

6

，由此能求出他們選擇的車床類型互不相同的概率為P=3!P（A₁B₂C₃）．
（2）法一：設(shè)3名工人中選擇乙型車床的人數(shù)為η，則η～B(3，

1

3

)，且ξ=3-η．由此能求出ξ的分布列和ξ的數(shù)學(xué)期望．法二：設(shè)第i名工人選擇甲或丙型車床記為事件D_i（i=1，2，3），則D₁，D₂，D₃相互獨(dú)立，且P(Di) =1-

1

3

=

2

3

．所以ξ～B（3，

2

3

），由此能求出ξ的分布列和ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）記第i名工人選擇甲，乙，丙型車床分別為事件A_i，B_i，C_i，i=1，2，3．
由題意知A₁，A₂，A₃相互獨(dú)立，
B₁，B₂，B₃相互獨(dú)立，
C₁，C₂，C₃相互獨(dú)立
A_i，B_j，B_k（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互獨(dú)立，
且P(Ai) =

1

2

，P(Bi) =

1

3

，P(Ci) =

1

6

，
他們選擇的車床類型互不相同的概率為
P=3!P（A₁B₂C₃）
=6×

1

2

×

1

3

×

1

6

=

1

6

．
（2）解法一：設(shè)3名工人中選擇乙型車床的人數(shù)為η，
則η～B(3，

1

3

)，
且ξ=3-η．
所以P（ξ=k）=P（η=3-k）=

C

3-k 3

(

1

3

)3-k(1-

1

3

)  k．
故ξ的分布列為

ξ	0	1	2	2
P	1 27	2 9	4 9	8 27

所以，ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=3-Eη=3-3×

1

3

=2．
解法二：設(shè)第i名工人選擇甲或丙型車床記為事件D_i（i=1，2，3），
則D₁，D₂，D₃相互獨(dú)立，
且P(Di) =1-

1

3

=

2

3

．
所以ξ～B（3，

2

3

），
即P(ξ=k)=

C

k 3

(

2

3

)  k(1-

2

3

)3-k，k=0，1，2，3．
故ξ的分布列為

ξ	0	1	2	2
P	1 27	2 9	4 9	8 27

所以，ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=3×

2

3

=2．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．