Question

已知函數(shù) ．

（1）判斷函數(shù)在的單調(diào)性并用定義證明；

（2）令，求在區(qū)間的最大值的表達(dá)式．

 

Answer 1

（1）函數(shù)在遞增；證明詳見(jiàn)答案解析.

（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)已知條件求出，再根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；

（2）由（1）先求出的表達(dá)式，再根據(jù)單調(diào)性求得各個(gè)區(qū)間的最大值，綜上即可求出在區(qū)間的最大值的表達(dá)式．

試題解析：（1）在遞增；

證明如下：

在區(qū)間上任取

則

而，所以，>0

所以，即函數(shù)在的單調(diào)遞增；（6分）

（2）若，，在遞增，，

若，）在遞減，， （9分）

若，則 （11分）

當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增， ，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減，； （13分）

，當(dāng) 時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

．

綜上：時(shí)，，當(dāng)時(shí)，． （15分）

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性、分段函數(shù)求值域問(wèn)題.