Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=kx（k≠0），且滿足f（x+1）f（x）=x2+x，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，h（x）= （f（x）≠1），問是否存在實數(shù)m使得h（x）的定義域和值域都為[m，m+1]？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x+1）f（x）=k（x+1）kx=k2（x2+x）

所以（k2﹣1）（x2+x）=0對一切x恒成立，k2﹣1=0，得k=±1；

故f（x）=±x；

（2）解：因f（x）為R上的增函數(shù)，

所以f（x）=x，則

而h（x）在（﹣∞，1）和（1，﹣∞）上是減函數(shù)，

于是h（x）在[m，m+1]上單調(diào)遞減，

則 解得m=﹣1或m=2

【解析】（1）利用f（x+1）f（x）=x2+x，對一切x恒成立，得到k；（2）由（1）得到k為1，即f（x）的解析式，代入h（x），判斷函數(shù)在[m，m+1]的單調(diào)性，得到關(guān)于m的方程組解之．