Question

在如圖所示的多面體中，四邊形為正方形，四邊形是直角梯形，，平面，．

（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

解析試題分析：本題中由于垂直關(guān)系較多，由題意易得兩兩相互垂直，因此可以他們分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，若設(shè)，則，，，，，
這樣第（1）題證明線(xiàn)面垂直，計(jì)算出，就能證得結(jié)論；而第（2）題只要求出平面和平面的法向量，這兩個(gè)法向量的夾角與所求二面角一定是相等或互補(bǔ)，其中平面是坐標(biāo)平面平面，其法向量可取，從而只要再求一個(gè)法向量即可．當(dāng)然如果不用空間向量，也可直接證明，第（1）題只要用平面幾何知識(shí)在直角梯形中證得，又有，線(xiàn)面垂直易得，為此取中點(diǎn)，可得是正方形，，接著可得，正好輔助線(xiàn)就是所求二面角的棱，可證就是平面角，這個(gè)角是．
試題解析：（1）由已知，，，兩兩垂直，可以為原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系．                       （1分）
設(shè)，則，，，，
故，，，     （3分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ee/e/2v5tw3.png" style="vertical-align:middle;" />，，故，，
即，，                            （5分）
所以，平面．                              （6分）
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/98/f/gbjyc1.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以可取平面的一個(gè)法向量
為，                                               （1分）
點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，（2分）
設(shè)平面