Question

（08年全國卷Ⅰ理）（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)．?dāng)?shù)列滿足，．

（Ⅰ）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；

（Ⅱ）證明：；

（Ⅲ）設(shè)，整數(shù)．證明：．

Answer 1

【解析】（Ⅰ）當(dāng)時，，

所以函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)．

（Ⅱ）當(dāng)時，．

又由（Ⅰ）及在處連續(xù)知，

因此，當(dāng)時，．　　　　�、�

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：．　　　　　　②

（）由，，應(yīng)用式①得．

即當(dāng)時，不等式②成立．

（）假設(shè)當(dāng)時，不等式②成立，即成立．

則由①可的得，即，

故當(dāng)時，不等式②也成立．

綜合（）、（）證得：恒成立．

 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，逐項(xiàng)遞增，故若存在正整數(shù)，使得，則

．

否則，若，則由知，

　　　．．．．．．．．．．．．．．③

．

由③知，

于是　

^．