Question

若對滿足條件3x+3y+8=2xy（x＞0，y＞0）的任意x、y，（x+y）²-a（x+y）+16≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

A、（-∞，8]

B、[8，+∞）

C、（-∞，10]

D、[10，+∞）

Answer 1

分析：利用基本不等式把已知的等式變形得到關(guān)于x+y的不等式，求解不等式得到x+y的范圍，換元后由，（x+y）²-a（x+y）+16≥0恒成立分類討論求解a的取值范圍．

解答：解：由3x+3y+8=2xy，得3（x+y）+8=2xy≤

(x+y)2

2

，
即（x+y）²-6（x+y）-16≥0，解得-2≤x+y≤8．
令t=x+y，則-2≤t≤8．
則問題變成了t²-at+16≥0對t∈[-2，8]恒成立，
若△=（-a）²-4×16≤0，即-8≤a≤8，不等式顯然成立，
若△＞0，即a＜-8或a＞8，
則

a 2 ＞8 82-8a+16≥0

①或

a 2 ＜-2 (-2)2+2a+16≥0

②
解得8＜a≤10或a≤-8．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，10]．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了不等式中含參數(shù)的范圍問題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了“三個(gè)二次”結(jié)合求解三叔的范圍問題，是中檔題．