Question

如圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC，
（1）求證：BE∥平面PDA；
（2）若N為線段PB的中點，求證：EN⊥平面PDB；
（3）若

PD

AD

=

2

，求平面PBE與平面ABCD所成的二面角的大�。�

Answer 1

分析：（1）由EC∥PD，根據(jù)線面平行的判定得：EC∥平面PDA，同時有BC∥平面PDA，再由面面平行的判定得平面BEC∥平面PDA，最后轉(zhuǎn)化為線面平行．
（2）因為以D出發(fā)的三條線兩兩垂直，所以可以建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法只要證明

EN

•

PB

=

1

2

×1-

1

2

×1-a×0=0，

EN

•

DB

=

1

2

×1-

1

2

×1+0×0=0即可．
（3）分別求得二個半平面的一個法向量即可，易知

DN

為平面PBE的法向量，

DP

為平面ABCD的法向量，分別求得其坐標(biāo)，再用夾角公式求解即可．

解答：解：（1）證明：∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA
∴EC∥平面PDA，
同理可得BC∥平面PDA（2分）
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC且EC∩BC=C
∴平面BEC∥平面PDA（3分）
又∵BE?平面EBC
∴BE∥平面PDA（4分）

（2）如圖以點D為坐標(biāo)原點，以AD所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示：
設(shè)該簡單組合體的底面邊長為1，PD=a
則B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，a），E(0，1，

a

2

)，N(

1

2

，

1

2

，

a

2

)（6分）
∴

EN

=(

1

2

，-

1

2

，0)，

PB

=(1，1，-a)，

DB

=(1，1，0)
∵

EN

•

PB

=

1

2

×1-

1

2

×1-a×0=0，

EN

•

DB

=

1

2

×1-

1

2

×1+0×0=0
∴EN⊥PB，EN⊥DB（8分）
∵PB、DB?面PDB，且PB∩DB=B
∴NE⊥面PDB（9分）

（3）連接DN，由（2）知NE⊥面PDB∴DN⊥NE，
∵

PD

AD

=

2

，DB=

2

AD
∴PD=DB∴DN⊥PB
∴

DN

為平面PBE的法向量，設(shè)AD=1，則N(

1

2

，

1

2

，

2

2

)
∴

DN

=(

1

2

，

1

2

，

2

2

)（11分）
∵

DP

為平面ABCD的法向量，

DP

=(0，0，

2

)，（12分）
設(shè)平面PBE與平面ABCD所成的二面角為θ，
則cosθ=

DN • DP

| DN |•| DP |

=

1

2

=

2

2

（13分）
∴θ=45°即平面PBE與平面ABCD所成的二面角為45°（4分）

點評：本題主要考查線線，線面，面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，以及線面垂直，二面角的向量方法證明與求值，綜合性較強，要求很熟練，屬高檔題．