Question

已知(1＋x)ⁿ＝a₀＋a₁(x－1)＋a₂(x－1)²＋…＋a_n(x－1)ⁿ(n∈N^*)．
(1)求a₀及S_n＝a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n；
(2)試比較S_n與(n－2)2ⁿ＋2n²的大小，并說明理由．

Answer 1

（1）a₀＝2ⁿ   S_n＝3ⁿ－2ⁿ.（2）當n＝1時，S_n＞(n－2)2ⁿ＋2n²；當n＝2,3時，S_n＜(n－2)2ⁿ＋2n²；當n≥4，n∈N^*時，S_n＞(n－2)2ⁿ＋2n².

(1)取x＝1，則a₀＝2ⁿ；
取x＝2，則a₀＋a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n＝3ⁿ，
所以S_n＝a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n＝3ⁿ－2ⁿ.
(2)要比較S_n與(n－2)2ⁿ＋2n²的大小，
即比較：3ⁿ與(n－1)2ⁿ＋2n²的大小．
當n＝1時，3ⁿ＞(n－1)2ⁿ＋2n²；
當n＝2,3時，3ⁿ＜(n－1)2ⁿ＋2n²；
當n＝4,5時，3ⁿ＞(n－1)2ⁿ＋2n².
猜想：當n≥4時，3ⁿ＞(n－1)2ⁿ＋2n²，
下面用數學歸納法證明：
由上述過程可知，n＝4時結論成立．
假設當n＝k(k≥4)時結論成立，即3^k＞(k－1)2^k＋2k²，
兩邊同乘以3，得3^k＋1＞3[(k－1)2^k＋2k²]＝k2^k＋1＋2(k＋1)²＋[(k－3)2^k＋4k²－4k－2]．
而(k－3)2^k＋4k²－4k－2＝(k－3)2^k＋4(k²－k－2)＋6＝(k－3)2^k＋4(k－2)(k＋1)＋6＞0.
所以3^k＋1＞[(k＋1)－1]2^k＋1＋2(k＋1)².
即n＝k＋1時結論也成立．
所以當n≥4時，3ⁿ＞(n－1)2ⁿ＋2n²成立．
綜上得，
當n＝1時，S_n＞(n－2)2ⁿ＋2n²；當n＝2,3時，S_n＜(n－2)2ⁿ＋2n²；
當n≥4，n∈N^*時，S_n＞(n－2)2ⁿ＋2n².