Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=4，且對任意的n≥3，n∈N^*有a_n-4a_n-1+4a_n-2=0．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）是否存在等差數(shù)列{b_n}，使得對任意的n∈N^*有a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ成立？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n-4a_n-1+4a_n-2=0，得a_n-2a_n-1=2（a_n-1-2a_n-2）（其中n≥3）；即

an-2an-1

an-1-2an-2

=2，得數(shù)列{a_n-2a_n-1}是等比數(shù)列；首項(xiàng)a₂-2a₁=2，則通項(xiàng)a_n-2a_n-1=2•2^n-2=2^n-1（其中n≥2）；從而得數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）當(dāng)n=1，2，3時(shí)，由a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ得：b₁=1①，b₁C₂¹+b₂C₂²=4②，b₁C₃¹+b₂C₃²+b₃C₃³=12③；由①②③組成方程組，得b₁，b₂，b₃；由此猜想b_n的通項(xiàng)公式，即n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ；用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n-4a_n-1+4a_n-2=0，
∴a_n-2a_n-1=2（a_n-1-2a_n-2）（其中n≥3）；
∴

an-2an-1

an-1-2an-2

=2，（其中n≥3）；
∴數(shù)列{a_n-2a_n-1}是首項(xiàng)為（a₂-2a₁），公比為2的等比數(shù)列，
∵a₂-2a₁=2，∴a_n-2a_n-1=2•2^n-2=2^n-1（其中n≥2）；
∴

an

2n-1

-

an-1

2n-2

=1，∴數(shù)列{

an

2n-1

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故

an

2n-1

=n，即a_n=n•2^n-1；
（Ⅱ）令n=1，2，3，代入a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ得：
b₁=1①，b₁C₂¹+b₂C₂²=4②，b₁C₃¹+b₂C₃²+b₃C₃³=12③；
由①②③組成方程組，解得：b₁=1，b₂=2，b₃=3；
由此可猜想b_n=n，即n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，等式左邊=1，右邊=C₁¹=1，
∴當(dāng)n=1時(shí)，等式成立，
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即k•2^k-1=C_k¹+2C_k²+…+kC_k^k
當(dāng)n=k+1時(shí)
（k+1）•2^k+1-1=k•2^k+2^k=2k•2^k-1+2^k=2（C_k¹+2C_k²+…+kC_k^k）+（C_k⁰+C_k¹+…+C_k^k）
=2C_k¹+4C_k²+…+2kC_k^k+C_k⁰+C_k¹+…+C_k^k
=（C_k⁰+C_k¹）+2（C_k¹+C_k²）+3（C_k²+C_k³）+…+（k+1）C_k^k
=C_k+1¹+2C_k+1²+3C_k+1³+…+（k+1）C_k+1^k+1
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立，
綜上所述，存在等差數(shù)列b_n=n，使得對任意的n∈N^*有a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ成立．

點(diǎn)評：本題綜合考查了數(shù)列與遞推公式的應(yīng)用，組合數(shù)公式與數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用；解題時(shí)應(yīng)細(xì)心分析，認(rèn)真解答，以免出錯(cuò)．