Question

設f(n)＝1＋＋＋ ＋ (n∈N^*)．
求證：f(1)＋f(2)＋ ＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N^*)．

Answer 1

應用數(shù)學歸納法．

試題分析：①當n＝2時，左邊＝f(1)＝1，
右邊＝2[1＋－1]＝1，
左邊＝右邊，等式成立．
②假設n＝k時，結論成立，即
f(1)＋f(2)＋ ＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，當n＝k＋1時，
f(1)＋f(2)＋ ＋f(k－1)＋f(k)
＝k[f(k)－1]＋f(k)
＝(k＋1)f(k)－k
＝(k＋1)[f(k＋1)－]－k
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
所以當n＝k＋1時結論仍然成立．
所以f(1)＋f(2)＋ ＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N^*)．
點評：中檔題，利用數(shù)學歸納法，注意遵循“兩步一結”。對數(shù)學式子變形能力要求較高。