Question

某地區(qū)氣候條件惡劣，且位于沙漠邊緣地帶，到2011年底該地區(qū)的綠化率只有30%，計(jì)劃從2012年開始加大沙漠化改造的力度，每年將原來沙漠面積的16%改造為綠洲，但同時(shí)原有綠洲面積的4%還會(huì)被沙漠化．
（1）設(shè)該地區(qū)的總面積為a，2011年底的綠洲面積為，經(jīng)過一年治理后綠洲面積為a₂，…，經(jīng)過n年后綠洲面積為a_n+1，求證：；
（2）問至少需要經(jīng)過多少的努力，才能使該地區(qū)的綠洲面積超過60%？（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3）

Answer 1

【答案】分析：（1）經(jīng)過n年后綠洲面積由兩部分組成，一部分是原有的綠洲面積減去沙漠化后剩下的面積為96%a_n，另一部分是新綠洲化的面積16%b_n，由此可得結(jié)論；
（2）先確定a_n+1=-a×，再建立不等式，即可得到結(jié)論．
解答：（1）證明：設(shè)2011年底沙漠面積為b₁，經(jīng)過n年沙漠面積為b_n+1，則a₁+b₁=a，
依題意，a_n+1由兩部分組成，一部分是原有的綠洲面積減去沙漠化后剩下的面積為96%a_n，另一部分是新綠洲化的面積16%b_n，
∴a_n+1=96%a_n+16%b_n=a_n+a；
（2）解：由（1）可知a_n+1-=（a_n-）
∴{a_n-}是以-a為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
∴a_n+1=-a×
依題意：-a×＞60%a
∴
∴
∴至少需要5年才能達(dá)到目標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列模型的構(gòu)建，考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，考查解不等式，屬于中檔題．