Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足下面兩個條件：
①對于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）
②當x＞0時，f（x）＜0
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）的單調性，并證明；
（3）如果不等式f(m-4sinx)+f(

7

4

-cos2x)≤0對于任意x∈R都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知等式，采用賦值法結合函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是奇函數(shù)；
（2）根據(jù)函數(shù)單調性的定義，任取x₁＜x₂，將 f（x₂）與f（x₁）作差得到負數(shù)，從而 f（x₁）＞f（x₂），得到f（x） 在R上是減函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)在R上是奇函數(shù)且為減函數(shù)，將原不等式轉化為m≥cos2x+4sinx-

7

4

在R上恒成立，再根據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，得到不等式右邊的最大值，從而得到實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）取x=y=0，可得f（0）=0，
再取y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），f（x）是奇函數(shù)                   …（5分）
（2）任取x₁＜x₂，則 f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
可得 f（x₁）＞f（x₂），所以f（x） 在R上是減函數(shù)                              …（10分）
（3）∵f(m-4sinx)+f(

7

4

-cos2x)≤0，且f（x）是奇函數(shù)
∴f(m-4sinx)≤-f(

7

4

-cos2x)=f(cos2x-

7

4

)
∵f（x） 在R上是減函數(shù)
∴m-4sinx≥cos2x-

7

4

，即m≥cos2x+4sinx-

7

4

∴m≥(cos2x+4sinx-

7

4

)max
∴下面即求函數(shù)cos2x+4sinx-

7

4

的最大值
由于cos2x+4sinx-

7

4

=-(sinx-2)2+

13

4

，sinx∈[-1，1]
∴當且僅當sinx=1時，(cos2x+4sinx-

7

4

)max=

9

4

所以m≥

9

4

…（16分）

點評：本題著重考查了函數(shù)的單調性與奇偶性、復合三角函數(shù)的最值和不等式恒成立問題的處理等知識，屬于中檔題．