Question

（2013•杭州二模）設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx（a，b為實(shí)數(shù)）．
（I）設(shè)a≠0，當(dāng)a+b=0時(shí)．求過(guò)點(diǎn)P（-1，0）且與曲線y=f（x）相切的直線方程；
（Ⅱ）設(shè)b＞0，當(dāng)a≤0且x∈[0，1]時(shí)，有f（x）∈[0，1），求b的最大值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)切點(diǎn)T（x₀，y₀），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f'（x₀）=k_PT，利用點(diǎn)斜式得到切線方程，把點(diǎn)P（-1，0）代入即可得到x₀，進(jìn)而即可得到切線方程；
（II）通過(guò)對(duì)a，b分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得出值域即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a≠0，a+b=0，∴b=-a，則f（x）=ax³-ax，
∴f'（x）=3ax²-a，設(shè)切點(diǎn)T（x₀，y₀），則f'（x₀）=k_PT，
即：切線方程為y-y0=(3ax02-a)(x-x0)，又∵切線過(guò)點(diǎn)P（-1，0），
∴-(ax03-ax0)=(3ax02-a)(-1-x0)，解得：x₀=-1或x0=

1

2

．
當(dāng)x₀=-1時(shí)，f'（x₀）=2a，切線方程為y=2ax+2a，
當(dāng)x0=

1

2

時(shí)，f′(x0)=-

1

4

a，切線方程為y=-

1

4

ax-

1

4

a．
（Ⅱ）  ①當(dāng)a=0，b＞0時(shí)，f（x）=bx在[0，1]上遞增，∴b≤1．
②當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，令f'（x）=3ax²+b=0，得x=±

- b 3a

，f（x）在[0，

- b 3a

]上遞增，
（ i ） 若

- b 3a

≥1時(shí)，f（x）在[0，1]上遞增，
∵f（0）=0，
∴

- b 3a ≥1 a+b≤1 a＜0，b＞0

，即：

3a+b≥0 a+b≤1 a＜0，b＞0

，由線性規(guī)劃知：b≤

3

2

．
（ ii ） 若

- b 3a

＜1時(shí)，f（x）在[0，

- b 3a

]上遞增，在[

- b 3a

，1]上遞減，
又f（0）=0，由題意得：

- b 3a ＜1 f( - b 3a )≤1 a+b≥0

，
由f(

- b 3a

)≤1得，a•(-

b

3a

)•

- b 3a

+b•

- b 3a

≤1，
即：

2

3

b•

- b 3a

≤1，得4b³≤-27a．
又a+b≥0，∴a≥-b，
∴4b³≤27b，得0＜b≤

3

2

3

．
當(dāng)b=

3

2

3

時(shí)，a=-b=-

3 3

2

，滿足-

b

3a

＜1．
綜上所述：b的最大值為

3 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、分類(lèi)討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．