Question

 

已知橢圓C:                     的離心率為      ，過右焦點F的直線l與C相交于A、B

           

兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有成立？

若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：本題考查解析幾何與平面向量知識綜合運用能力，第一問直接運用點到直線的距離公式以及橢圓有關關系式計算，第二問利用向量坐標關系及方程的思想，借助根與系數關系解決問題，注意特殊情況的處理。

解：（Ⅰ）設 當的斜率為1時，其方程為到的距離為

    

   故  ，      

       由

       得 ，=

（Ⅱ）C上存在點，使得當繞轉到某一位置時，有成立。

由 （Ⅰ）知C的方程為+=6. 設

 (ⅰ)

　C 成立的充要條件是， 且

整理得

故                   ①

將

    

于是 , =,

     

        代入①解得，，此時

     于是=， 即    

     因此， 當時，， ；

 當時，， 。

（ⅱ）當垂直于軸時，由知，C上不存在點P使成立。

綜上，C上存在點使成立，此時的方程為

.