Question

（本小題滿分16分）

兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對城A和城B的總影響度為0.065.

（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：

（i）設(shè)（rad），將表示成的函數(shù)；并寫出函數(shù)的定義域.      (5分)

（ii）設(shè)（km），將表示成的函數(shù)；并寫出函數(shù)的定義域.        (5分) 

（2）請你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系確定垃圾處理廠的位置，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？          (6分)

 

 

Answer 1

【答案】

解:（1）（i）由題意知, AC=, BC=,     

              ---------------------------------2分

其中 當(dāng)時(shí)，y=0.065 , 所以k=9

所以  ------------------------------3分

（ii）如圖,由題意知AC⊥BC,, -----7分

其中當(dāng)時(shí)，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函數(shù)為-------------------10分

（2）（i）-------------------------------4分

當(dāng)且僅當(dāng)   即當(dāng)AC時(shí), 即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為時(shí), 函數(shù)

有最小值. ---------------------------------16分

 

（ii）,,

令得,所以,即,

當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)

,當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)------14分

.所以當(dāng)時(shí), 即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為時(shí),

函數(shù)有最小值.           --16分

解法二: （1）同上.

（2）設(shè),

則,,所以

 -----10分

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取”=”.

∴弧上存在一點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小.     16分

 

【解析】略