Question

（1）設f（θ）=

2cos3θ+sin2(2 π-θ)+sin( π 2 +θ)-3

2+2cos2(π+θ)+cos(-θ)

，求f（

π

3

）的值；
（2）已知

2sinθ+cosθ

sinθ-3cosθ

=-5，求 sin²θ-3sinθcosθ+4cos²θ的值．

Answer 1

分析：（1）首先利用誘導公式化簡原式，然后將

π

3

代入并用特殊三角函數(shù)值求出結果．
（2）由cosθ不等于0，在已知的等式的左邊的分子分母都除以cosθ，得到關于tanθ的方程，求出方程的解即可得到tanθ的值，然后把所求的式子寫成分母為“sin²θ+cos²θ=1”的分式，再化為關于tanθ的式子后，將tanθ的值代入即可求出值．

解答：解：（1）原式=

2cos3θ+sin2θ+cosθ-3

2+2cos2θ+cosθ

=

2cos3θ+1-cos2θ+cosθ-3

2+2cos2θ+cosθ

=

2(cosθ-1)(cos2θ+cosθ+1)-cosθ(cosθ-1)

2+2cos2θ+cosθ

=

(cosθ-1)(2cos2θ+2cosθ-cosθ+2)

2+2cos2θ+cosθ

=cosθ-1
∵cos

π

3

=

1

2

∴f（

π

3

）=

1

2

-1=-

1

2

（2）∵

2sinθ+cosθ

sinθ-3cosθ

=-5，，且cosθ≠0（否則2=-5），
∴

2tanθ+1

tanθ-3

=-5（　　）
解得：tanθ=2
原式=

sin2θ-3sinθcosθ+4cos2θ

sin2θ+cos2θ

=

tan2θ-3tanθ+4

tan2θ+1

=

22-3×2+4

22+1

=

2

5

點評：此題考查學生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關系及弦切互化公式化簡求值，是一道中檔題．