Question

已知O為坐標(biāo)原點，

OM

=（-1，1），

NM

=（-5，5）集合A={

OR

||

RN

|=2}，

OP

，

OQ

∈A且

MP

=λ

MQ

（λ∈r，且λ≠0）則

MP

•

MQ

=

46

．

Answer 1

分析：根據(jù)向量的線性運算，可得點N坐標(biāo)為（4，-4）且R點的軌跡是以N為圓心，半徑為2的圓．進(jìn)而得到P、Q在圓N上，且M、P、Q三點共線，在Rt△MNS中利用勾股定理，并結(jié)合圓的切割線定理即可算出

MP

•

MQ

的值．

解答：解：∵

OM

=（-1，1），

NM

=（-5，5）
∴向量

ON

=

OM

-

NM

=（4，-4），即點N坐標(biāo)為（4，-4）
∵集合A={

OR

||

RN

|=2}
∴點R到N的距離等于2（常數(shù)），故R點的軌跡是以N為圓心，半徑為2的圓
∵

OP

，

OQ

∈A且

MP

=λ

MQ

（λ∈r，且λ≠0）
∴P、Q在圓N上，且M、P、Q三點共線
設(shè)過M的直線與圓N相切于點S，連接NS、NM，則
Rt△MNS中，MN=5

2

，NS=2，可得MS²=MN²-NS²=50-4=46
由切割線定理，可得

MP

•

MQ

=

MS

²=46
故答案為：46

點評：本題以向量為載體，求動點的軌跡方程并求數(shù)量積

MP

•

MQ

的值．著重考查了平面向量的線性運算、平面向量數(shù)量積的運算和動點軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．