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        1. 平面內(nèi)動點(diǎn)M與點(diǎn)P1(-2,0),P2(2,0)所成直線的斜率分別為k1、k2,且滿足k1k2=-
          1
          2

          (1)求點(diǎn)M的軌跡E的方程,并指出E的曲線類型;
          (2)設(shè)直線l:y=kx+m(k>0,m≠0)分別交x、y 軸于點(diǎn)A、B,交曲線E于點(diǎn)C、D,且|AC|=|BD|,N(
          2
          ,1)
          求k的值及△NCD面積取得最大時直線l的方程.
          分析:(1)設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),由k1•k2=-
          1
          2
          ,可得
          y
          x+2
          y
          x-2
          =-
          1
          2
          ,整理可求
          (2)在l:y=kx+m中分別令x=0,y=0可得A(-
          m
          k
          ,0),B(0,m)
          ,從而可得AB的中點(diǎn)為Q(-
          m
          2k
          ,
          m
          2
          )
          ,聯(lián)立方程結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系及|AC|=|BD|,可得CD中點(diǎn)就是AB中點(diǎn),從而可求k,由于CD|=
          1+k2
          •|x2-x1|=
          1+
          1
          2
          (x1+x2)2-4x1x2
          =
          3
          2
          2m2-4(m2-2)
          =
          3(4-m2)
          ,點(diǎn)N到CD的距離d=
          |
          2
          k-1+m|
          1+k2
          =
          6
          3
          |m|,代入利用基本不等式可求面積的最大值及K的值,進(jìn)而可求直線方程
          解答:解:(1)設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),∵k1•k2=-
          1
          2
          ,∴
          y
          x+2
          y
          x-2
          =-
          1
          2
          ,即
          x2
          4
          +
          y2
          2
          =1(y≠0)
          動點(diǎn)M的軌跡E是中心在原點(diǎn),半長軸為2,焦點(diǎn)為(±
          2
          ,0)的橢圓
          (除去長軸兩個端點(diǎn).)  它的方程是
          x2
          4
          +
          y2
          2
          =1(y≠0).
          (2)在l:y=kx+m中分別令x=0,y=0可得A(-
          m
          k
          ,0),B(0,m)
          ,AB的中點(diǎn)為Q(-
          m
          2k
          ,
          m
          2
          )

          設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),由
          y=kx+m
          x2
          4
          +
          y2
          2
          =1
          ⇒(1+2k2)x2+4mkx+2m2
          -4=0△=32k2-8m2+16,x1+x2=-
          4mk
          1+2k2
          ,x1x2=
          2m2-4
          1+2k2

          ∵|AC|=|BD|,∴CD中點(diǎn)就是AB中點(diǎn),
          即-
          4mk
          1+2k2
          =-
          m
          k
          ,4k2=1+2k2k2=
          1
          2
          ,∵k>0,∴k=
          2
          2
          (2)|CD|=
          1+k2
          •|x2-x1|=
          1+
          1
          2
          (x1+x2)2-4x1x2
          =
          3
          2
          2m2-4(m2-2)
          =
          3(4-m2)

          點(diǎn)N到CD的距離d=
          |
          2
          k-1+m|
          1+k2
          =
          6
          3
          |m|,S△NCD=
          1
          2
          |CD|•d=
          1
          2
          3(4-m2)
          6
          3
          |m|=
          2
          2
          (4-m2)m2
          2
          2
           (4-m2+m2)=2
          2

          當(dāng)且僅當(dāng)4-m2=m2時等號成立,即m2=2,m=±
          2
          ,此時△>0,
          所以直線的方程為l:y=
          2
          2
          2
          點(diǎn)評:本題主要考查了利用直線的斜率關(guān)系求解點(diǎn)的軌跡方程,要注意(1)中要去掉不符合條件的點(diǎn),考查了基本不等式在求解最值中的應(yīng)用.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          平面內(nèi)動點(diǎn)M與點(diǎn)P1(-2,0),P2(2,0),所成直線的斜率分別為k1、k2,且滿足k1k2=-
          1
          2

          (Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡E的方程,并指出E的曲線類型;
          (Ⅱ)設(shè)直線:l:y=kx+m(k>0,m≠0)分別交x、y軸于點(diǎn)A、B,交曲線E于點(diǎn)C、D,且|AC|=|BD|.
          (1)求k的值;
          (2)若點(diǎn)N(
          2
          ,1)
          ,求△NCD面積取得最大時直線l的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          平面內(nèi)動點(diǎn)M與點(diǎn)P1(-2,0),P2(2,0),所成直線的斜率分別為k1、k2,且滿足k1k2=-
          1
          2

          (Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡E的方程,并指出E的曲線類型;
          (Ⅱ)設(shè)直線:l:y=kx+m(k>0,m≠0)分別交x、y軸于點(diǎn)A、B,交曲線E于點(diǎn)C、D,且|AC|=|BD|.
          (1)求k的值;
          (2)若點(diǎn)N(
          2
          ,1)
          ,求△NCD面積取得最大時直線l的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2007-2008學(xué)年湖南省永州市祁陽二中高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

          平面內(nèi)動點(diǎn)M與點(diǎn)P1(-2,0),P2(2,0),所成直線的斜率分別為k1、k2,且滿足
          (Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡E的方程,并指出E的曲線類型;
          (Ⅱ)設(shè)直線:l:y=kx+m(k>0,m≠0)分別交x、y軸于點(diǎn)A、B,交曲線E于點(diǎn)C、D,且|AC|=|BD|.
          (1)求k的值;
          (2)若點(diǎn),求△NCD面積取得最大時直線l的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年新疆烏魯木齊高級中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷(解析版) 題型:解答題

          平面內(nèi)動點(diǎn)M與點(diǎn)P1(-2,0),P2(2,0)所成直線的斜率分別為k1、k2,且滿足
          (1)求點(diǎn)M的軌跡E的方程,并指出E的曲線類型;
          (2)設(shè)直線l:y=kx+m(k>0,m≠0)分別交x、y 軸于點(diǎn)A、B,交曲線E于點(diǎn)C、D,且|AC|=|BD|,求k的值及△NCD面積取得最大時直線l的方程.

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          同步練習(xí)冊答案