Question

已知a是正整數(shù)，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-1，4），B（2，1），并且與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求a的最小值；
（Ⅱ）求證：此拋物線(xiàn)的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)不超過(guò)-

17

8

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A，B，代入即可求a的最小值；
（Ⅱ）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行證明．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-1，4），B（2，1），
∴

a-b+c=4 4a+2b+c=1

，
解得

b=-a-1 c=3-2a

，
又拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
則△=b²-4ac=（-a-1）²-4a（3-4a）=9a²-10a+1＞0，
解得a＞1或a＜

1

4

，
∵a是正整數(shù)，∴a＞1，
∴a的最小值為2．
（Ⅱ）拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=

4ac-b2

4a

=

4a(3-2a)-(-a-1)2

4a

=-

1

4

(9a+

1

a

)+

10

4

，
∵當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=-

1

4

(9a+

1

a

)+

10

4

單調(diào)遞減，
∴當(dāng)a=2時(shí)，ymax=-

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8

．
即結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論．