Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F（

3

，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．
（1）求橢圓C的方程，
（2）點(diǎn)P是圓x²+y²=b²上第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)P作圓的切線與橢圓C交于Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂）（y₁＞y₂）兩點(diǎn)．①求證：|PQ|+|FQ|=2．②求|QR|的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得c=

3

，2a=4，再利用b=

a2-c2

=1，即可得到橢圓C的方程．
（2）由于點(diǎn)Q（x₁，y₁）在橢圓上，可得

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|QF|=

(x1- 3 )2+ y 2 1

．利用切線的性質(zhì)和勾股定理可得|PQ|=

|OQ|2-|OP|2

，即可得出|PQ|+|QF|=2．
②同理可得|PR|+|RF|=2．于是|QR|+|QF|+|FR|=4，利用三角形三邊的關(guān)系可得|QR|≤|QF|+|FR|，可得當(dāng)QR過(guò)點(diǎn)F時(shí)取最大值2．

解答：解：（1）由題意可得c=

3

，2a=4，
∴a=2，b=

a2-c2

=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）∵點(diǎn)Q（x₁，y₁）在橢圓上，∴

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，
∴|QF|=

(x1- 3 )2+ y 2 1

=

(x1- 3 )2+1- x 2 1 4

=

( 3 2 x1-2)2

=2-

3

2

x1．
|PQ|=

|OQ|2-|OP|2

=

x 2 1 + y 2 1 -1

=

x 2 1 - x 2 1 4

=

3

2

x1，
∴|PQ|+|QF|=2．
②同理可得|PR|+|RF|=2．
則|QR|+|QF|+|FR|=4，又|QR|≤|QF|+|FR|，
∴2|QR|≤4，即|QR|≤2．
∴當(dāng)QR過(guò)點(diǎn)F時(shí)取最大值2．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、圓的切線的性質(zhì)、勾股定理、三角形三邊大小關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．