Question

給出下列四個命題：
①函數(shù)是定義域到值域的映射；
②f(x)=

x-2

+

1-x

是函數(shù)；
③函數(shù)y=3x（x∈N）的圖象是一條直線；
④已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意實數(shù)x₁，x₂，且x₁≠x₂，都有

x1-x2

f(x1)-f(x2)

＜0，則f（x）在R上是減函數(shù)．
其中正確命題的序號是

①④

．（寫出你認(rèn)為正確的所有命題序號）

Answer 1

分析：①為假命題，函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射，其中A是定義域，值域是B的子集；②為假命題，函數(shù)的定義域不能為空集；③為假命題，函數(shù)y=3x（x∈N）的圖象是一條直線上的孤立的點；④為真命題，對任意實數(shù)x₁，x₂，且x₁≠x₂，都有

x1-x2

f(x1)-f(x2)

＜0，說明x₁-x₂與f（x₁）-f（x₂）異號，由單調(diào)性的定義可得結(jié)論．

解答：解：①為真命題，函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射，其中A是定義域，值域是B的子集記為C，
所以，對于集合A中的任意一個元素（數(shù)），按照對應(yīng)法則f在集合C中都有唯一一個元素（數(shù)）與之對應(yīng)，
符合映射的定義，故應(yīng)為真命題；
②為假命題，不存在實數(shù)x同時滿足兩個根式有意義，函數(shù)的定義域不能為空集；
③為假命題，函數(shù)y=3x（x∈N）的圖象是一條直線上的孤立的點；
④為真命題，對任意實數(shù)x₁，x₂，且x₁≠x₂，都有

x1-x2

f(x1)-f(x2)

＜0，
說明x₁-x₂與f（x₁）-f（x₂）異號，由單調(diào)性的定義可知f（x）在R上是減函數(shù)．
故答案為：①④．

點評：本題以命題為載體，考查函數(shù)與映射的關(guān)系，考查函數(shù)的單調(diào)性，知識點多，需謹(jǐn)慎．