Question

設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A，橢圓C上兩點(diǎn)P，Q在x軸上的射影分別為左焦點(diǎn)F₁和右焦點(diǎn)F₂，直線PQ的斜率為，過(guò)點(diǎn)A且與AF₁垂直的直線與x軸交于點(diǎn)B，△AF₁B的外接圓為圓M．
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線與圓M相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且，求橢圓方程；
（3）設(shè)點(diǎn)N（0，3）在橢圓C內(nèi)部，若橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的最遠(yuǎn)距離不大于，求橢圓C的短軸長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由條件可知
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/130426.png' />，所以（4分）
（2）由（1）可知，
所以
從而M（c，0）．半徑為a，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/130026.png' />，
所以∠EMF=120°，可得：M到直線l的距離為．
所以c=2，所以橢圓方程為．（8分）
（3）因?yàn)辄c(diǎn)N在橢圓內(nèi)部，
所以b＞3．（9分）
設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)為K（x，y），
則．
由條件可以整理得：y²+18y-4b²+189≥0
對(duì)任意y∈[-b，b]（b＞3）恒成立，
所以有：
或者
解之得：（13分）
分析：（1）先把點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)用a，b，c表示出來(lái)，再利用直線PQ的斜率為，即可求橢圓的離心率；
（2）先求出點(diǎn)A，F(xiàn)₁，B以及M的坐標(biāo)和圓的半徑，再利用可得M到直線l的距離為．就可求出a，b，c的值進(jìn)而求出橢圓方程；
（3）先利用點(diǎn)N（0，3）在橢圓C內(nèi)部求出b的范圍，再求出橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的距離的表達(dá)式，利用題中條件轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題來(lái)求橢圓C的短軸長(zhǎng)的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓與橢圓的綜合，直線與橢圓的位置關(guān)系以及向量的數(shù)量積問(wèn)題．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識(shí)內(nèi)容，綜合性強(qiáng)，能力要求高，還涉及到函數(shù)，方程，不等式，平面幾何等許多知識(shí)，可以有效的考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類(lèi)討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想，因此，這一部分內(nèi)容也成了高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)