Question

（理科）函數(shù)有如下性質(zhì)：①函數(shù)是奇函數(shù)；②函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)（x＞0）的值域是[6，+∞），求b的值；
（2）判斷函數(shù)（常數(shù)c＞0）在定義域內(nèi)的奇偶性和單調(diào)性，并加以證明；
（3）對函數(shù)（常數(shù)c＞0）分別作出推廣，使它們是你推廣的函數(shù)的特例．判斷推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只需寫出結(jié)論，不要證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為2^b＞0，x＞0，所以可用均值不等式求函數(shù)的值域，求出的值域與所給值域比較，即可求出b的值．
（2）先求函數(shù)的定義域，得到定義域關于原點對稱，計算f（-x），結(jié)果等于f（x），所以可判斷函數(shù)為偶函數(shù)．
再利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，先證明x＞0的單調(diào)性，設0＜x₁＜x₂，作差比較f（x₂）與f（x₁）的大小，得到，，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，f（x）在（0，]為減函數(shù)，當x＜0，時，用同樣的方法證明．
（3）由（1）可推廣當n是奇數(shù)時，函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，由（2）可推廣當n是偶數(shù)時，函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，注意單調(diào)區(qū)間的根指數(shù)的規(guī)律即可
解答：解：（1）∵2^b＞0，x＞0，∴＞0，∴，當且僅當x=，x²=2^b時等號成立．
又∵函數(shù)的值域是[6，+∞），即y≥6，∴2=6，解得，b=long₂9．
（2）設，
，
∴函數(shù)為偶函數(shù)．
設=．
，
∴函數(shù)在上是增函數(shù)；
當0，f（x）在（0，]為減函數(shù)，
設，，則是偶函數(shù)，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（-x₁）-f（-x₂）＞0，
∴函數(shù)上是減函數(shù)，
同理可證，函數(shù)上是增函數(shù)．
（3）可以推廣為研究函數(shù)的單調(diào)性．
當n是奇數(shù)時，函數(shù)上是增函數(shù)，
在上是減函數(shù)；
當n是偶數(shù)時，函數(shù)上是增函數(shù)，
在上是減函數(shù)；
點評：本題主要考查均值定理求函數(shù)的最小值，定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，均值定理要考慮成立的條件，定義證明奇偶性時，要先判斷定義域是否關于原點對稱，證明函數(shù)的單調(diào)性時，要把f（x₂）與f（x₁）的差分解成幾個因式的乘積的形式．