Question

已知函數(shù)f（θ）=2

3

sin²（

π

4

+θ）-cos2θ，設(shè)△ABC的最小內(nèi)角為A，滿足f（A）=2

3

．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）若BC邊上的中線長(zhǎng)為3，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（θ）解析式的第一項(xiàng)，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，整理后根據(jù)兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由A為三角形的最小角，得到A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)即可；
（II）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE，CE，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形得到ABEC為平行四邊形，可得出對(duì)邊AC與BE平行，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得出∠ABE與∠BAC互補(bǔ)，由∠BAC的度數(shù)表示出∠ABE的度數(shù)，在三角形ABE中，由余弦定理得到AE²=b²+c²-2bccos∠ABE，將AE及表示出的∠ABE的度數(shù)代入，整理后再利用基本不等式變形，求出bc的最大值，然后利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將∠BAC的度數(shù)及bc的最大值代入即可求出面積的最大值．

解答：解：（I）f（θ）=2

3

sin²（

π

4

+θ）-cos2θ=

3

[1-cos（

π

2

+2θ）]-cos2θ
=

3

-

3

cos（

π

2

+2θ）-cos2θ=

3

sin2θ-cos2θ+

3

=2sin（2θ-

π

6

）+

3

，（4分）
∵A為△ABC的最小內(nèi)角，∴A∈（0，

π

3

]，
∴2A-

π

6

∈（-

π

6

，

π

2

]，
又f（A）=2sin（2A-

π

6

）+

3

=2

3

，
∴sin（2A-

π

6

）=

3

2

，
則A=

π

4

；（7分）
（II）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD=3，又AD為中線，可得BD=CD，
∴四邊形ABEC為平行四邊形，
∴AC∥BE，BE=AC=b，
又A=

π

4

，
∴∠BAC+∠ABE=π，即∠ABE=π-∠BAC=

3π

4

，
在△ABE中，根據(jù)余弦定理得：6²=b²+c²-2bccos∠ABE=b²+c²+

2

bc，
又b²+c²≥2bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，
∴bc≤

36

2+ 2

=18（2-

2

），（11分）
S_△ABC=

1

2

bcsin∠BAC=

2

4

bc≤9

2

-9，
則△ABC面積的最大值為9

2

-9．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，基本不等式，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．