Question

甲、乙兩隊各3名同學(xué)參加世博知識競賽，每人回答一個問題，答對得1分，答錯得0分．假設(shè)甲隊每人答對的概率均為

2

3

，乙隊中3人答對的概率分別為

2

3

，

2

3

，

1

2

．且每個人回答正確與否互不影響，用ξ表示甲隊的總分．
（1）求ξ的分布列及期望；
（2）記事件A“甲乙兩隊總分之和等于3”，事件B“甲隊總分大于乙隊總分”，求P（AB）．

Answer 1

分析：（1）甲隊中的3名同學(xué)各自獨立的回答一個問題，且答對的概率均為

2

3

，所以可以理解為進行3次獨立重復(fù)試驗，3名同學(xué)答題得分的所有可能為0、1、2、3，利用獨立重復(fù)試驗的概率公式求出ξ分別是0、1、2、3時的概率，則ξ的分布列可求，數(shù)學(xué)期望可直接利用二項分布的期望公式求解；
（2）事件A“甲乙兩隊總分之和等于3”，事件B“甲隊總分大于乙隊總分”，則事件AB所包含的情況為：“甲隊得3分，乙隊得0分”；“甲隊得2分，乙隊得1分”，兩類情況為互斥事件，每一類的概率可用相互獨立事件的概率求解．

解答：解：（1）甲隊中的3人答題可看做3次獨立重復(fù)試驗．
事件A：甲隊一人答題答對，
則P（A）=

2

3

，
又答對得1分，答錯得0分，
∴甲隊的總分ξ～（3，

2

3

），
∴P（ξ=0）=

C

0 3

(

2

3

)0•(

1

3

)3=

1

27

，P（ξ=1）=

C

1 3

(

2

3

)•(

1

3

)2=

2

9

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)=

4

9

，P（ξ=3）=

C

3 3

(

2

3

)3•(

1

3

)0=

8

27

．
∴分布列為

∴Eξ=3×

2

3

=2；    
（2）事件AB：甲乙兩隊得分之和為3分，且甲隊得分大于乙隊得分，
所以，事件AB包括甲隊得3分，乙隊得0分；甲隊得2分，乙隊得1分，
∵乙隊中3人答對的概率分別為

2

3

，

2

3

，

1

2

，∴乙隊中3人答錯的概率分別為

1

3

，

1

3

，

1

2

．
∴P（AB）=

C

3 3

(

2

3

)3×

1

3

×

1

3

×

1

2

+

C

2 3

(

2

3

)2×

1

3

×[

2

3

×

1

3

×

1

2

+

2

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

×

1

2

]
=

14

243

．
所以，P（AB）=

14

243

．

點評：本題考查了n次獨立重復(fù)試驗恰有k次發(fā)生的概率，訓(xùn)練了離散型隨機變量的分布列的求解，考查了二項分布的期望公式，考查了互斥事件的概率等于概率和，練習(xí)相互獨立事件的概率的求法，是中檔題．