Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-16x+q+3：
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若不等式f（x）+51≥0對任意x∈[q，10]均成立，求實數(shù)q的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)零點的判斷方法即可求出；
（2）通過討論q與頂點的橫坐標8的大小關(guān)系，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出．

解答：解：（1）∵二次函f（x）=x²-16x+q+3的對稱軸是x=8，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減．
∴要函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上存在零點須滿足f（-1）f（1）≤0，
即 （1+16+q+3）（1-16+q+3）≤0，化為（q+20）（q-12）≤0．
解得-20≤q≤12．
∴實數(shù)q的取值范圍是[-20，12]．
（2）記g（x）=f（x）+51=x²-16x+q+54，
①當q＜8時，g（x）_min=g（8），
∴g（8）≥0，即64-128+q+54≥0，解得q≥10．
又∵q＜8，∴無解．
②當q≥8時，g（x）_min=g（q），
∴g（q）≥0，即q²-16q+q+54≥0，解得q≥9或q≤6．
又∵q≥8，∴q≥9，又由題意可知q＜10．
綜上可得：9≤q＜10．

點評：熟練掌握二次函數(shù)的單調(diào)性和分類討論的思想方法及函數(shù)零點的判斷方法是解題的關(guān)鍵．