Question

已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2

3

，那么當(dāng)該棱錐體積最大時(shí)，它的高為（　　）

• A．1
• B．

  3

• C．2
• D．3

Answer 1

分析：設(shè)出底面邊長(zhǎng)，求出正四棱錐的高，寫出體積表達(dá)式，利用求導(dǎo)求得最大值時(shí)，高的值．

解答：解：設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則高h(yuǎn)=

(2 3 )2-( 2 a 2 )2

=

12- a2 2

，
所以體積V=

1

3

a²h=

1

3

12a4- 1 2 a6

，
設(shè)y=12a⁴-

1

2

a⁶，則y′=48a³-3a⁵，
y′=48a³-3a⁵=0，
解可得a=4，
且當(dāng)a＞4時(shí)，y′≤0，函數(shù)y=12a⁴-

1

2

a⁶，在區(qū)間（4，+∞）是減函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜4時(shí)，y′＞0，函數(shù)y=12a⁴-

1

2

a⁶，在區(qū)間（0，4）是增函數(shù)；
∴當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)y=12a⁴-

1

2

a⁶，取得最大值，即此時(shí)體積最大，
此時(shí)h=

12- a2 2

=2，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，正確記憶其體積公式并且能夠靈活的利用導(dǎo)數(shù)解決最值問(wèn)題．