Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，S為△ABC的面積，若a+b=2，且2S=c²-（a-b）²；
（1）求

sinC

1-cosC

的值；       
（2）求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正弦定理關(guān)于面積的公式，對照已知等式可得ab（sinC-2）=-（a²+b²-c²），再結(jié)合余弦定理整理可得sinC=2-2cosC，由此即可得到

sinC

1-cosC

的值；
（2）根據(jù)（1）中求出的值結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系，算出sinC=

4

5

，利用面積公式得S=

2

5

ab，再結(jié)合a+b=2和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到S的最大值．

解答：解：（1）∵S=

1

2

absinC，
∴2S=absinC=c²-（a-b）²，化簡得ab（sinC-2）=-（a²+b²-c²）
∵根據(jù)余弦定理，得a²+b²-c²=2abcossC
∴ab（sinC-2）=-2abcossC，整理得sinC=2-2cosC
由此可得：

sinC

1-cosC

=

2-2cosC

1-cosC

=2；…（5分）
（2）由（1）得

sinC

1-cosC

=2，結(jié)合sin²C+cos²C=1解得sinC=

4

5

∴S=

1

2

absinC=

2

5

ab
∵a+b=2，∴S=

2

5

a(2-a)=-

2

5

[(a-1)2-1]≤

2

5

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，面積S的最大值為

2

5

．…（10分）

點(diǎn)評：本題給出已知條件，求角C的式子的值并求三角形面積的最大值，著重考查了利用正、余弦定理解決三角形中的問題和二次函數(shù)求最值等知識(shí)，屬于中檔題．