Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，動(dòng)點(diǎn)P在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁表面上運(yùn)動(dòng)，且PA=r（0＜r＜

3

），記點(diǎn)P的軌跡的長度為f（r），則f(

1

2

)=______．（填上所有可能的值）．

Answer 1

如圖所示：①當(dāng)0＜r≤1時(shí)，f（r）=3×

π

2

×r=

3π

2

r；∴f(

1

2

)=

3π

4

．此時(shí)，由一次函數(shù)的單調(diào)性可得：0＜f(r)≤

3π

2

＜5．
②當(dāng)1＜r≤

2

時(shí)，在平面ABCD內(nèi)，設(shè)以點(diǎn)A為圓心，r為半徑的圓弧與BC、CD分別交于點(diǎn)E、F，則cos∠DAF=

1

r

，∠EAF=

π

2

-2∠DAF，
∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2×

1-( 1 r )2

×

1

r

=

2 r2-1

r2

，cos∠EAG=

2r2-( 2 r2-1 )2

2r2

=

1

r2

，
∴f（r）=3rarccos

2 r2-1

r2

+3rayccos

1

r2

；
③當(dāng)

2

＜r＜

3

時(shí)，∵CM=

r2-2

，∴C1M=C1N=1-

r2-2

，∴cos∠MAN=

2r2-[ 2 (1- r2-2 )]2

2r2

=

1+2 r2-2

r2

，
∴f（r）=3rarccos

1+2 r2-2

r2

．
綜上可知：當(dāng)0＜r≤1時(shí)，f(r)=

3π

2

r；當(dāng)1＜r≤

2

時(shí)，f（r）=3rarccos

2 r2-1

r2

+3rayccos

1

r2

；當(dāng)

2

＜r＜

3

時(shí)，∴f（r）=3rarccos

1+2 r2-2

r2

．
根據(jù)以上解析式及圖性和對稱性可得f（r）的圖象：
由圖象不難看出：函數(shù)y=f（r）與y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為，0，2，3，4．
故答案為f(

1

2

)=

3π

4

．關(guān)于r的方程f（r）=k的解的個(gè)數(shù)可能為0，2，3，4．