Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=5，a_n+1=3a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）；
（1）證明：數(shù)列{a_n+2ⁿ⁺¹}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=

2n+1

3n+1-an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n；
（3）令cn=

an

an+1

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：

3n-4

9

＜Tn＜

n

3

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n+1=3a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*），圍繞數(shù)列{a_n+2ⁿ⁺¹}，可進(jìn)行構(gòu)造，從而得證；
（2）利用bn=

2n+1

3n+1-an

，表示出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，再采用錯(cuò)位相減法求和；
（3）先根據(jù)cn=

an

an+1

，表示出c_n，進(jìn)而利用放縮法求前n項(xiàng)和為T_n，從而可證．

解答：證明：（1）∵a_n+1=3a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）
∴a_n+1+2•2ⁿ⁺¹=3（a_n+2×2ⁿ），
∵a₁+2•2¹=9
∴{a_n+2ⁿ⁺¹}是等比數(shù)列，公比為3
∴a_n+2ⁿ⁺¹=3ⁿ⁺¹
∴a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹
（2）bn=

2n+1

3n+1-an

=

2n+1

2n+1

=(2n+1)•(

1

2

)n+1
Sn=3•(

1

2

)2+5•(

1

2

)3+…+(2n+1)•(

1

2

)n+1

1

2

Sn=3•(

1

2

)3+5•(

1

2

)4+…+(2n+1)•(

1

2

)n+2
∴

1

2

Sn=3•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+2•(

1

2

)n+1-(2n+1)•(

1

2

)n+2

1

2

Sn=(

1

2

)2+2[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n+1]-(2n+1)•(

1

2

)n+2=

1

4

+[1-(

1

2

)n]-(2n+1)(

1

2

)n+2=

5

4

-

2n+5

2n+2

∴Sn=

5

2

-

2n+5

2n+1

…（9分）
（3）cn=

an

an+1

=

1-( 2 3 )n+1

3-2( 2 3 )n+1

先證明cn＜

1

3

，即證明

1-( 2 3 )n+1

3-2( 2 3 )n+1

＜

1

3

，即證明

1

3

•(

2

3

)n+1＞0，顯然成立
∴Tn＜

n

3

又cn=

1-( 2 3 )n+1

3-2( 2 3 )n+1

＞

1

3

[1-(

2

3

)n+1]
∴Tn＞

1

3

(n-

4

3

) =

3n-4

9

∴

3n-4

9

＜Tn＜

n

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是數(shù)列與不等式的綜合．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、問題轉(zhuǎn)化的思想以及恒成立的思想．值得同學(xué)們體會(huì)和反思