Question

國慶長假期間小明去參觀畫展，為了保護(hù)壁畫，舉辦方在壁畫前方用垂直于地面的透明玻璃幕墻與觀眾隔開，小明在一幅壁畫正前方駐足觀看．如圖是小明觀看該壁畫的縱截面示意圖，已知壁畫高度AB是2米，壁畫底端與地面的距離BO是1米，玻璃幕墻與壁畫之間的距離OC是1米．若小明的身高為a米（0＜a＜3），他在壁畫正前方x米處觀看，問x為多少時(shí)，小明觀看這幅壁畫上下兩端所成的視角θ最大？

Answer 1

分析：通過0＜a＜1，1＜a＜3且a≠2，分別求出tanθ，構(gòu)造函數(shù)通過函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，說明視角最大．

解答：（本小題滿分16分）
解：因?yàn)閥=tanx在x∈（0，

π

2

）是增函數(shù)，
（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，如圖1，tanθ=tan（α-β）=

3-a x - 1-a x

1+ (1-a)(3-a) x2

=

2

x+ (1-a)(3-a) x

，
令函數(shù)f（x）=x+

(1-a)(3-a)

x

，可證明函數(shù)f（x）在（0，

(1-a)(3-a)

）是單調(diào)減函數(shù)，
在(

(1-a)(3a)

，+∞)是單調(diào)增函數(shù)．
若

(1-a)(3-a)

≤1時(shí)，即2-

2

≤a＜1時(shí)，
f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，此時(shí)當(dāng)x=1時(shí)tanθ取得最大值，則視角θ最大．
若

(1-a)(3-a)

＞1時(shí)，即0＜a＜2-

2

，
①當(dāng)x=

(1-a)(3-a)

時(shí)，tanθ取得最大值，則視角θ最大．
②當(dāng)a=1時(shí)，tanθ=

2

x

（x≥1），當(dāng)x=1時(shí)tanθ取得最大值，則視角θ最大．
（2）當(dāng)1＜a＜3且a≠2時(shí)如圖2，
tanθ═tan（α+β）=

3-a x + a-1 x

1- (a-1)(3-a) x2

=

2

x- (a-1)(3-a) x

，
令g（x）=x-

(a-1)(3-a)

x

，
在[1，+∞）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x=1時(shí)，y_max＞0，tanθ＞0，故θ為銳角．
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最小值，tanθ取得最大值，則視角θ最大．
綜上：當(dāng)2-

2

≤a＜3時(shí)，且x=1時(shí)，視角θ最大；
當(dāng)0＜a＜2-

2

，時(shí)，且x=

(1-a)(3-a)

時(shí)，視角θ最大．

點(diǎn)評：本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，分類討論思想，計(jì)算能力．