Question

（本小題滿分13分）
已知數列，其前項和為．
（1）求數列的通項公式，并證明數列是等差數列；
（2）如果數列滿足，請證明數列是等比數列；
（3）設，數列的前項和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）當時，，                ………………………1分
當時，
．    ……………………………2分
又滿足，                 ……………………………3分
．                ………………………………4分
∵   ，
∴數列是以5為首項，為公差的等差數列．        ………………5分
（Ⅱ）由已知得 ，       ………………………6分
∵   ，    ……………………7分
又，
∴數列是以為首項，為公比的等比數列．        ………………8分
（Ⅲ） ……10分
∴ 
．                   ……………………11分
∵ ，
∴單調遞增．
∴．                                …………………12分
∴，解得，因為是正整數， ∴． ………………13分

解析