Question

已知函數(shù)在處取得極值.

(1)求實(shí)數(shù)的值；

(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)證明:對任意的正整數(shù),不等式都成立.

 

Answer 1

【答案】

(1) a=1. （2）, (3) 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后再利用單調(diào)性及數(shù)列知識證明即可

【解析】

試題分析：(1)                

時,取得極值,                

故解得經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意. 

（2）由a=1知 由,得 

令則在區(qū)間上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根等價于在區(qū)間上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根.           

當(dāng)時,,于是在上單調(diào)遞增; 

當(dāng)時,,于是在上單調(diào)遞減.

依題意有,

解得,               

(3) 的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072312370345116009/SYS201307231237427318828227_DA.files/image027.png">,由(1)知,

令得,x=0或(舍去),  當(dāng)時, ,單調(diào)遞增;

當(dāng)時, ,單調(diào)遞減. 為在上的最大值.                        

,故(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時,等號成立)

對任意正整數(shù)n,取得,  

.

故.

考點(diǎn)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評：導(dǎo)數(shù)本身是個解決問題的工具，是高考必考內(nèi)容之一，高考往往結(jié)合函數(shù)甚至是實(shí)際問題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求單調(diào)、最值、完成證明等，請注意歸納常規(guī)方法和常見注意點(diǎn)